4x^2+5x+1=>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(4 x^{2} + 5 x\right) + 1 \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(4 x^{2} + 5 x\right) + 1 = 0$$
Resolvemos:
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 4$$
$$b = 5$$
$$c = 1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(5)^2 - 4 * (4) * (1) = 9

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{1}{4}$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = - \frac{1}{4}$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = - \frac{1}{4}$$
$$x_{2} = -1$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = - \frac{1}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(4 x^{2} + 5 x\right) + 1 \geq 0$$
$$\left(\frac{\left(-11\right) 5}{10} + 4 \left(- \frac{11}{10}\right)^{2}\right) + 1 \geq 0$$

17     
-- >= 0
50     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq -1$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq -1$$
$$x \geq - \frac{1}{4}$$