sqrt(x-5)-sqrt(9-x)>1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- \sqrt{9 - x} + \sqrt{x - 5} > 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \sqrt{9 - x} + \sqrt{x - 5} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$- \sqrt{9 - x} + \sqrt{x - 5} = 1$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(- \sqrt{9 - x} + \sqrt{x - 5}\right)^{2} = 1$$
o
$$\left(-1\right)^{2} \left(9 - x\right) + \left(\left(-1\right) 2 \sqrt{\left(9 - x\right) \left(x - 5\right)} + 1^{2} \left(x - 5\right)\right) = 1$$
o
$$4 - 2 \sqrt{- x^{2} + 14 x - 45} = 1$$
cambiamos:
$$- 2 \sqrt{- x^{2} + 14 x - 45} = -3$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$- 4 x^{2} + 56 x - 180 = 9$$
$$- 4 x^{2} + 56 x - 180 = 9$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 4 x^{2} + 56 x - 189 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -4$$
$$b = 56$$
$$c = -189$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(56)^2 - 4 * (-4) * (-189) = 112

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 7 - \frac{\sqrt{7}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{7}}{2} + 7$$

Como
$$\sqrt{- x^{2} + 14 x - 45} = \frac{3}{2}$$
y
$$\sqrt{- x^{2} + 14 x - 45} \geq 0$$
entonces
$$\frac{3}{2} \geq 0$$
$$x_{1} = 7 - \frac{\sqrt{7}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{7}}{2} + 7$$
comprobamos:
$$x_{1} = 7 - \frac{\sqrt{7}}{2}$$
$$- \sqrt{9 - x_{1}} + \sqrt{x_{1} - 5} - 1 = 0$$
=
$$\left(- \sqrt{9 - \left(7 - \frac{\sqrt{7}}{2}\right)} + \sqrt{-5 + \left(7 - \frac{\sqrt{7}}{2}\right)}\right) - 1 = 0$$
=

-1 + sqrt(2 - sqrt(7)/2) - sqrt(2 + sqrt(7)/2) = 0

- No
$$x_{2} = \frac{\sqrt{7}}{2} + 7$$
$$- \sqrt{9 - x_{2}} + \sqrt{x_{2} - 5} - 1 = 0$$
=
$$-1 + \left(- \sqrt{9 - \left(\frac{\sqrt{7}}{2} + 7\right)} + \sqrt{-5 + \left(\frac{\sqrt{7}}{2} + 7\right)}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{7}}{2} + 7$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{7}}{2} + 7$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{7}}{2} + 7$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\sqrt{7}}{2} + 7$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(\frac{\sqrt{7}}{2} + 7\right)$$
=
$$\frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{69}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \sqrt{9 - x} + \sqrt{x - 5} > 1$$
$$- \sqrt{9 - \left(\frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{69}{10}\right)} + \sqrt{-5 + \left(\frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{69}{10}\right)} > 1$$

     ____________        ____________    
    /        ___        /        ___     
   /  19   \/ 7        /  21   \/ 7   > 1
  /   -- + -----  -   /   -- - -----     
\/    10     2      \/    10     2       

Entonces
$$x < \frac{\sqrt{7}}{2} + 7$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > \frac{\sqrt{7}}{2} + 7$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1