x-3/(4x-2)(x+2)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x - \left(x + 2\right) \frac{3}{4 x - 2} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x - \left(x + 2\right) \frac{3}{4 x - 2} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$x - \left(x + 2\right) \frac{3}{4 x - 2} = 0$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
-2 + 4*x
obtendremos:
$$\left(x - \left(x + 2\right) \frac{3}{4 x - 2}\right) \left(4 x - 2\right) = 0$$
$$4 x^{2} - 5 x - 6 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 4$$
$$b = -5$$
$$c = -6$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-5)^2 - 4 * (4) * (-6) = 121

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{3}{4}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{3}{4}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{3}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{3}{4}$$
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3}{4} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{17}{20}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x - \left(x + 2\right) \frac{3}{4 x - 2} < 0$$
$$- \frac{17}{20} - \left(- \frac{17}{20} + 2\right) \frac{3}{\frac{\left(-17\right) 4}{20} - 2} < 0$$

-19     
---- < 0
 90     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \frac{3}{4}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \frac{3}{4}$$
$$x > 2$$