|x+2|+|2x-3|<=5- desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x + 2}\right| + \left|{2 x - 3}\right| \leq 5$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x + 2}\right| + \left|{2 x - 3}\right| = 5$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x + 2 \geq 0$$
$$2 x - 3 \geq 0$$
o
$$\frac{3}{2} \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x + 2\right) + \left(2 x - 3\right) - 5 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$3 x - 6 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 2$$

2.
$$x + 2 \geq 0$$
$$2 x - 3 < 0$$
o
$$-2 \leq x \wedge x < \frac{3}{2}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(3 - 2 x\right) + \left(x + 2\right) - 5 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = 0$$

3.
$$x + 2 < 0$$
$$2 x - 3 \geq 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

4.
$$x + 2 < 0$$
$$2 x - 3 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -2$$
obtenemos la ecuación
$$\left(3 - 2 x\right) + \left(- x - 2\right) - 5 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 3 x - 4 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = - \frac{4}{3}$$
pero x3 no satisface a la desigualdad


$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 0$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x + 2}\right| + \left|{2 x - 3}\right| \leq 5$$
$$\left|{- \frac{1}{10} + 2}\right| + \left|{-3 + \frac{\left(-1\right) 2}{10}}\right| \leq 5$$

51     
-- <= 5
10     

pero

51     
-- >= 5
10     

Entonces
$$x \leq 0$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq 0 \wedge x \leq 2$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1