x^2-4x-1<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x^{2} - 4 x\right) - 1 < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x^{2} - 4 x\right) - 1 = 0$$
Resolvemos:
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = -1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4)^2 - 4 * (1) * (-1) = 20

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 2 + \sqrt{5}$$
$$x_{2} = 2 - \sqrt{5}$$
$$x_{1} = 2 + \sqrt{5}$$
$$x_{2} = 2 - \sqrt{5}$$
$$x_{1} = 2 + \sqrt{5}$$
$$x_{2} = 2 - \sqrt{5}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 2 - \sqrt{5}$$
$$x_{1} = 2 + \sqrt{5}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 - \sqrt{5}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{19}{10} - \sqrt{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x^{2} - 4 x\right) - 1 < 0$$
$$-1 + \left(\left(\frac{19}{10} - \sqrt{5}\right)^{2} - 4 \left(\frac{19}{10} - \sqrt{5}\right)\right) < 0$$

                   2              
  43   /19     ___\        ___    
- -- + |-- - \/ 5 |  + 4*\/ 5  < 0
  5    \10        /               
    

pero

                   2              
  43   /19     ___\        ___    
- -- + |-- - \/ 5 |  + 4*\/ 5  > 0
  5    \10        /               
    

Entonces
$$x < 2 - \sqrt{5}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 2 - \sqrt{5} \wedge x < 2 + \sqrt{5}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1