2*cos(4x-30)<1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$2 \cos{\left(4 x - 30 \right)} < 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$2 \cos{\left(4 x - 30 \right)} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$2 \cos{\left(4 x - 30 \right)} = 1$$
es la ecuación trigonométrica más simple

Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

La ecuación se convierte en
$$\cos{\left(4 x - 30 \right)} = \frac{1}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$4 x - 30 = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$4 x - 30 = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
O
$$4 x - 30 = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$4 x - 30 = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
$$-30$$
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
$$4 x = \pi n + \frac{\pi}{3} + 30$$
$$4 x = \pi n - \frac{2 \pi}{3} + 30$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$4$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{12} + \frac{15}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{4} - \frac{\pi}{6} + \frac{15}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{12} + \frac{15}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{4} - \frac{\pi}{6} + \frac{15}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{12} + \frac{15}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{4} - \frac{\pi}{6} + \frac{15}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{12} + \frac{15}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{12} + \frac{37}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$2 \cos{\left(4 x - 30 \right)} < 1$$
$$2 \cos{\left(4 \left(\frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{12} + \frac{37}{5}\right) - 30 \right)} < 1$$

     /  2   pi       \    
2*cos|- - + -- + pi*n| < 1
     \  5   3        /    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{12} + \frac{15}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{12} + \frac{15}{2}$$
$$x > \frac{\pi n}{4} - \frac{\pi}{6} + \frac{15}{2}$$