Sr Examen

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cos(x)<=0,5

cos(x)<=0,5 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
cos(x) <= 1/2
$$\cos{\left(x \right)} \leq \frac{1}{2}$$
cos(x) <= 1/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\cos{\left(x \right)} \leq \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
O
$$x = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
, donde n es cualquier número entero
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{\pi}{3}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cos{\left(x \right)} \leq \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3} \right)} \leq \frac{1}{2}$$
   /  1    pi       \       
cos|- -- + -- + pi*n| <= 1/2
   \  10   3        /       

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq \pi n + \frac{\pi}{3}$$
 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x \geq \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida 2 [src]
 pi  5*pi 
[--, ----]
 3    3   
$$x\ in\ \left[\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]$$
x in Interval(pi/3, 5*pi/3)
Respuesta rápida [src]
   /pi            5*pi\
And|-- <= x, x <= ----|
   \3              3  /
$$\frac{\pi}{3} \leq x \wedge x \leq \frac{5 \pi}{3}$$
(pi/3 <= x)∧(x <= 5*pi/3)
Gráfico
cos(x)<=0,5 desigualdades