cos2x+3sinx>=-1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \geq -1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = -1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = -1$$
cambiamos
$$3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} + 1 = 0$$
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} + 2 = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -2$$
$$b = 3$$
$$c = 2$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(3)^2 - 4 * (-2) * (2) = 25

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$w_{2} = 2$$
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2} - i \log{\left(2 - \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2} - i \log{\left(\sqrt{3} + 2 \right)}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{5 \pi}{6} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{5 \pi}{6} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} \geq -1$$
$$3 \sin{\left(- \frac{5 \pi}{6} - \frac{1}{10} \right)} + \cos{\left(2 \left(- \frac{5 \pi}{6} - \frac{1}{10}\right) \right)} \geq -1$$

       /1    pi\      /1   pi\      
- 3*cos|-- + --| + sin|- + --| >= -1
       \10   3 /      \5   6 /      

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq - \frac{5 \pi}{6}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x \geq - \frac{\pi}{6}$$