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cos(2*x/3)<-√2/2
Resolver desigualdades/ cos(2*x/3)<-√2/2

cos(2*x/3)<-√2/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
              ___ 
   /2*x\   -\/ 2  
cos|---| < -------
   \ 3 /      2
cos⁡(2x3)<(−1)22\cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2} 
cos((2*x)/3) < (-sqrt(2))/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
cos⁡(2x3)<(−1)22\cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
cos⁡(2x3)=(−1)22\cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
cos⁡(2x3)=(−1)22\cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
2x3=πn+acos⁡(−22)\frac{2 x}{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
2x3=πn−π+acos⁡(−22)\frac{2 x}{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
O
2x3=πn+3π4\frac{2 x}{3} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}
2x3=πn−π4\frac{2 x}{3} = \pi n - \frac{\pi}{4}
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
23\frac{2}{3}
x1=3πn2+9π8x_{1} = \frac{3 \pi n}{2} + \frac{9 \pi}{8}
x2=3πn2−3π8x_{2} = \frac{3 \pi n}{2} - \frac{3 \pi}{8}
x1=3πn2+9π8x_{1} = \frac{3 \pi n}{2} + \frac{9 \pi}{8}
x2=3πn2−3π8x_{2} = \frac{3 \pi n}{2} - \frac{3 \pi}{8}
Las raíces dadas
x1=3πn2+9π8x_{1} = \frac{3 \pi n}{2} + \frac{9 \pi}{8}
x2=3πn2−3π8x_{2} = \frac{3 \pi n}{2} - \frac{3 \pi}{8}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x1x_{0} < x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(3πn2+9π8)+−110\left(\frac{3 \pi n}{2} + \frac{9 \pi}{8}\right) + - \frac{1}{10}
=
3πn2−110+9π8\frac{3 \pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{9 \pi}{8}
lo sustituimos en la expresión
cos⁡(2x3)<(−1)22\cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}
cos⁡(2(3πn2−110+9π8)3)<(−1)22\cos{\left(\frac{2 \left(\frac{3 \pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{9 \pi}{8}\right)}{3} \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}
                            ___ 
    /  1    pi       \   -\/ 2  
-sin|- -- + -- + pi*n| < -------
    \  15   4        /      2

pero
                            ___ 
    /  1    pi       \   -\/ 2  
-sin|- -- + -- + pi*n| > -------
    \  15   4        /      2

Entonces
x<3πn2+9π8x < \frac{3 \pi n}{2} + \frac{9 \pi}{8}
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x>3πn2+9π8∧x<3πn2−3π8x > \frac{3 \pi n}{2} + \frac{9 \pi}{8} \wedge x < \frac{3 \pi n}{2} - \frac{3 \pi}{8}
         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-70-60-50-40-30-20-10102030405060702-2
Respuesta rápida [src] 
   /            /   _____________\               /   _____________\    \
   |            |  /         ___ |               |  /         ___ |    |
And\x < - 3*atan\\/  3 + 2*\/ 2  / + 3*pi, 3*atan\\/  3 + 2*\/ 2  / < x/
x<−3atan⁡(22+3)+3π∧3atan⁡(22+3)<xx < - 3 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{2} + 3} \right)} + 3 \pi \wedge 3 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{2} + 3} \right)} < x 
(3*atan(sqrt(3 + 2*sqrt(2))) < x)∧(x < -3*atan(sqrt(3 + 2*sqrt(2))) + 3*pi)
Respuesta rápida 2 [src] 
       /   _____________\          /   _____________\        
       |  /         ___ |          |  /         ___ |        
(3*atan\\/  3 + 2*\/ 2  /, - 3*atan\\/  3 + 2*\/ 2  / + 3*pi)
x in (3atan⁡(22+3),−3atan⁡(22+3)+3π)x\ in\ \left(3 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{2} + 3} \right)}, - 3 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{2} + 3} \right)} + 3 \pi\right) 
x in Interval.open(3*atan(sqrt(2*sqrt(2) + 3)), -3*atan(sqrt(2*sqrt(2) + 3)) + 3*pi)
Gráfico
cos(2*x/3)<-√2/2 desigualdades
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