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sin*2x/3-cos*2x/3<0

sin*2x/3-cos*2x/3<0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
sin(2*x)   cos(2*x)    
-------- - -------- < 0
   3          3        
sin(2x)3cos(2x)3<0\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{3} < 0
sin(2*x)/3 - cos(2*x)/3 < 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
sin(2x)3cos(2x)3<0\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{3} < 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
sin(2x)3cos(2x)3=0\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{3} = 0
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
sin(2x)3cos(2x)3=0\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{3} = 0
cambiamos:
sin(2x)3cos(2x)=13\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{3 \cos{\left(2 x \right)}} = \frac{1}{3}
o
tan(2x)3=13\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{3} = \frac{1}{3}
es la ecuación trigonométrica más simple
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 1/3

La ecuación se convierte en
tan(2x)=1\tan{\left(2 x \right)} = -1
Esta ecuación se reorganiza en
2x=πn+atan(1)2 x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(-1 \right)}
O
2x=πnπ42 x = \pi n - \frac{\pi}{4}
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
22
x1=πn2π8x_{1} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{8}
x1=πn2π8x_{1} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{8}
Las raíces dadas
x1=πn2π8x_{1} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{8}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x1x_{0} < x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(πn2π8)+110\left(\frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{8}\right) + - \frac{1}{10}
=
πn2π8110\frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{8} - \frac{1}{10}
lo sustituimos en la expresión
sin(2x)3cos(2x)3<0\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{3} < 0
sin(2(πn2π8110))3cos(2(πn2π8110))3<0\frac{\sin{\left(2 \left(\frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{8} - \frac{1}{10}\right) \right)}}{3} - \frac{\cos{\left(2 \left(\frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{8} - \frac{1}{10}\right) \right)}}{3} < 0
     /1   pi       \      /1   pi       \    
  cos|- + -- - pi*n|   sin|- + -- - pi*n|    
     \5   4        /      \5   4        / < 0
- ------------------ - ------------------    
          3                    3             

pero
     /1   pi       \      /1   pi       \    
  cos|- + -- - pi*n|   sin|- + -- - pi*n|    
     \5   4        /      \5   4        / > 0
- ------------------ - ------------------    
          3                    3             

Entonces
x<πn2π8x < \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{8}
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
x>πn2π8x > \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{8}
         _____  
        /
-------ο-------
       x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-80-60-40-20204060801-1
Respuesta rápida 2 [src]
        /   ___________\              /   ___________\     
        |  /       ___ |              |  /       ___ |     
        |\/  2 - \/ 2  |              |\/  2 + \/ 2  |     
[0, atan|--------------|) U (pi - atan|--------------|, pi]
        |   ___________|              |   ___________|     
        |  /       ___ |              |  /       ___ |     
        \\/  2 + \/ 2  /              \\/  2 - \/ 2  /     
x in [0,atan(222+2))(πatan(2+222),π]x\ in\ \left[0, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}\right) \cup \left(\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}} \right)}, \pi\right]
x in Union(Interval.Ropen(0, atan(sqrt(2 - sqrt(2))/sqrt(sqrt(2) + 2))), Interval.Lopen(pi - atan(sqrt(sqrt(2) + 2)/sqrt(2 - sqrt(2))), pi))
Respuesta rápida [src]
  /   /                /   ___________\\     /                  /   ___________\    \\
  |   |                |  /       ___ ||     |                  |  /       ___ |    ||
  |   |                |\/  2 - \/ 2  ||     |                  |\/  2 + \/ 2  |    ||
Or|And|0 <= x, x < atan|--------------||, And|x <= pi, pi - atan|--------------| < x||
  |   |                |   ___________||     |                  |   ___________|    ||
  |   |                |  /       ___ ||     |                  |  /       ___ |    ||
  \   \                \\/  2 + \/ 2  //     \                  \\/  2 - \/ 2  /    //
(0xx<atan(222+2))(xππatan(2+222)<x)\left(0 \leq x \wedge x < \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}\right) \vee \left(x \leq \pi \wedge \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}} \right)} < x\right)
((0 <= x)∧(x < atan(sqrt(2 - sqrt(2))/sqrt(2 + sqrt(2)))))∨((x <= pi)∧(pi - atan(sqrt(2 + sqrt(2))/sqrt(2 - sqrt(2))) < x))
Gráfico
sin*2x/3-cos*2x/3<0 desigualdades