7-x/(3x-2)(2x+1)(x-4)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- \frac{x}{3 x - 2} \left(2 x + 1\right) \left(x - 4\right) + 7 < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \frac{x}{3 x - 2} \left(2 x + 1\right) \left(x - 4\right) + 7 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$- \frac{x}{3 x - 2} \left(2 x + 1\right) \left(x - 4\right) + 7 = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$- \frac{\left(2 x - 1\right) \left(x^{2} - 3 x - 14\right)}{3 x - 2} = 0$$
denominador
$$3 x - 2$$
entonces

x no es igual a 2/3

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$1 - 2 x = 0$$
$$x^{2} - 3 x - 14 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$1 - 2 x = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- 2 x = -1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -2

x = -1 / (-2)

Obtenemos la respuesta: x1 = 1/2
3.
$$x^{2} - 3 x - 14 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -3$$
$$c = -14$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (1) * (-14) = 65

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{65}}{2}$$
pero

x no es igual a 2/3

$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{65}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{65}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{65}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{65}}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{7}{5} - \frac{\sqrt{65}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \frac{x}{3 x - 2} \left(2 x + 1\right) \left(x - 4\right) + 7 < 0$$
$$- \frac{\frac{7}{5} - \frac{\sqrt{65}}{2}}{3 \left(\frac{7}{5} - \frac{\sqrt{65}}{2}\right) - 2} \left(2 \left(\frac{7}{5} - \frac{\sqrt{65}}{2}\right) + 1\right) \left(-4 + \left(\frac{7}{5} - \frac{\sqrt{65}}{2}\right)\right) + 7 < 0$$

    /         ____\ /      ____\                  
    |  13   \/ 65 | |7   \/ 65 | /19     ____\    
    |- -- - ------|*|- - ------|*|-- - \/ 65 |    
    \  5      2   / \5     2   / \5          /    
7 - ------------------------------------------ < 0
                           ____                   
                  11   3*\/ 65                    
                  -- - --------                   
                  5       2                       

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{65}}{2}$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------ο-------ο-------ο-------
       x3      x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{65}}{2}$$
$$x > \frac{1}{2} \wedge x < \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}$$