Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right)^{6}}{6} + \frac{\log{\left(x + 7 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \geq 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right)^{6}}{6} + \frac{\log{\left(x + 7 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} = 2$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 1.48383266597109$$
$$x_{2} = 0.245263767197006 + 1.68379797266015 i$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = 1.48383266597109$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 1.48383266597109$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 1.48383266597109$$
=
$$1.38383266597109$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right)^{6}}{6} + \frac{\log{\left(x + 7 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \geq 2$$
$$\frac{\left(\frac{\log{\left(1 + 1.38383266597109 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right)^{6}}{6} + \frac{\log{\left(1.38383266597109 + 7 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \geq 2$$
2.12630516864514 0.0716302296856124
---------------- + ------------------
log(3) 6 >= 2
log (3)
pero
2.12630516864514 0.0716302296856124
---------------- + ------------------
log(3) 6 < 2
log (3)
Entonces
$$x \leq 1.48383266597109$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq 1.48383266597109$$
_____
/
-------•-------
x1