|x+2|+|x-2|<12 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x - 2}\right| + \left|{x + 2}\right| < 12$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x - 2}\right| + \left|{x + 2}\right| = 12$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 2 \geq 0$$
$$x + 2 \geq 0$$
o
$$2 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 2\right) + \left(x + 2\right) - 12 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$2 x - 12 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 6$$

2.
$$x - 2 \geq 0$$
$$x + 2 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

3.
$$x - 2 < 0$$
$$x + 2 \geq 0$$
o
$$-2 \leq x \wedge x < 2$$
obtenemos la ecuación
$$\left(2 - x\right) + \left(x + 2\right) - 12 = 0$$
simplificamos, obtenemos
incorrecto
la resolución en este intervalo:

4.
$$x - 2 < 0$$
$$x + 2 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -2$$
obtenemos la ecuación
$$\left(2 - x\right) + \left(- x - 2\right) - 12 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 2 x - 12 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = -6$$


$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = -6$$
$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = -6$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -6$$
$$x_{1} = 6$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-6 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{61}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x - 2}\right| + \left|{x + 2}\right| < 12$$
$$\left|{- \frac{61}{10} + 2}\right| + \left|{- \frac{61}{10} - 2}\right| < 12$$

61/5 < 12

pero

61/5 > 12

Entonces
$$x < -6$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > -6 \wedge x < 6$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1