Se da la desigualdad:
$$\left(7 - x\right) \log{\left(\sqrt{x} \right)} \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \left(\frac{\log{\left(4 - x \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)^{2} \leq 4$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(7 - x\right) \log{\left(\sqrt{x} \right)} \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \left(\frac{\log{\left(4 - x \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)^{2} = 4$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 3.27614109445513$$
$$x_{2} = 2.67717461047322 - 1.57886938966527 i$$
$$x_{3} = 3.27614109445513 + 2.26695254063241 \cdot 10^{-18} i$$
$$x_{4} = 2.67717461047348 + 1.5788693896654 i$$
$$x_{5} = 2.67717461047348 - 1.5788693896654 i$$
$$x_{6} = 3.27614109445513 - 1.27058423653593 \cdot 10^{-14} i$$
$$x_{7} = 0.636406495551078$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = 3.27614109445513$$
$$x_{2} = 0.636406495551078$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 0.636406495551078$$
$$x_{1} = 3.27614109445513$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 0.636406495551078$$
=
$$0.536406495551078$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(7 - x\right) \log{\left(\sqrt{x} \right)} \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \left(\frac{\log{\left(4 - x \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)^{2} \leq 4$$
$$\left(7 - 0.536406495551078\right) \log{\left(\sqrt{0.536406495551078} \right)} \frac{\log{\left(0.536406495551078 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \left(\frac{\log{\left(4 - 0.536406495551078 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)^{2} \leq 4$$
1.25380250108023 1.543325775897
---------------- + --------------
log(2) 2 <= 4
log (2)
pero
1.25380250108023 1.543325775897
---------------- + --------------
log(2) 2 >= 4
log (2)
Entonces
$$x \leq 0.636406495551078$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq 0.636406495551078 \wedge x \leq 3.27614109445513$$
_____
/ \
-------•-------•-------
x2 x1