Sr Examen

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log(-8-12*x-6*x^2-x^3)*1/log(x+10)>=0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
   /               2    3\     
log\-8 - 12*x - 6*x  - x /     
-------------------------- >= 0
       log(x + 10)             
$$\frac{\log{\left(- x^{3} + \left(- 6 x^{2} + \left(- 12 x - 8\right)\right) \right)}}{\log{\left(x + 10 \right)}} \geq 0$$
log(-x^3 - 6*x^2 - 12*x - 8)/log(x + 10) >= 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\frac{\log{\left(- x^{3} + \left(- 6 x^{2} + \left(- 12 x - 8\right)\right) \right)}}{\log{\left(x + 10 \right)}} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\log{\left(- x^{3} + \left(- 6 x^{2} + \left(- 12 x - 8\right)\right) \right)}}{\log{\left(x + 10 \right)}} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = -3$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-3 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\log{\left(- x^{3} + \left(- 6 x^{2} + \left(- 12 x - 8\right)\right) \right)}}{\log{\left(x + 10 \right)}} \geq 0$$
$$\frac{\log{\left(\left(- 6 \left(- \frac{31}{10}\right)^{2} + \left(-8 - \frac{\left(-31\right) 12}{10}\right)\right) - \left(- \frac{31}{10}\right)^{3} \right)}}{\log{\left(- \frac{31}{10} + 10 \right)}} \geq 0$$
   /1331\     
log|----|     
   \1000/     
--------- >= 0
    /69\      
 log|--|      
    \10/      

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \leq -3$$
 _____          
      \    
-------•-------
       x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida 2 [src]
{-10} U (-9, -3]
$$x\ in\ \left\{-10\right\} \cup \left(-9, -3\right]$$
x in Union(FiniteSet(-10), Interval.Lopen(-9, -3))
Respuesta rápida [src]
Or(And(x <= -3, -9 < x), x = -10)
$$\left(x \leq -3 \wedge -9 < x\right) \vee x = -10$$
(x = -10))∨((x <= -3)∧(-9 < x)