sqrt(x^2-4*x+3)/(x-4)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3}}{x - 4} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3}}{x - 4} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3}}{x - 4} = 0$$
denominador
$$x - 4$$
entonces

x no es igual a 4

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x^{2} - 4 x + 3 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
2.
$$x^{2} - 4 x + 3 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = 3$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4)^2 - 4 * (1) * (3) = 4

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 1$$
pero

x no es igual a 4

$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 1$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 1$$
=
$$\frac{9}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\sqrt{\left(x^{2} - 4 x\right) + 3}}{x - 4} \leq 0$$
$$\frac{\sqrt{\left(- \frac{4 \cdot 9}{10} + \left(\frac{9}{10}\right)^{2}\right) + 3}}{-4 + \frac{9}{10}} \leq 0$$

   ____      
-\/ 21       
-------- <= 0
   31        
     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq 1$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq 1$$
$$x \geq 3$$