|2x-7|<4 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{2 x - 7}\right| < 4$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{2 x - 7}\right| = 4$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$2 x - 7 \geq 0$$
o
$$\frac{7}{2} \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(2 x - 7\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$2 x - 11 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{11}{2}$$

2.
$$2 x - 7 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < \frac{7}{2}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(7 - 2 x\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$3 - 2 x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$


$$x_{1} = \frac{11}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
$$x_{1} = \frac{11}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
$$x_{1} = \frac{11}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{3}{2}$$
=
$$\frac{7}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{2 x - 7}\right| < 4$$
$$\left|{-7 + \frac{2 \cdot 7}{5}}\right| < 4$$

21/5 < 4

pero

21/5 > 4

Entonces
$$x < \frac{3}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \frac{3}{2} \wedge x < \frac{11}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1