(x-3)(x-9)/(x-7)≥0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x - 9\right) \left(x - 3\right)}{x - 7} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x - 9\right) \left(x - 3\right)}{x - 7} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(x - 9\right) \left(x - 3\right)}{x - 7} = 0$$
denominador
$$x - 7$$
entonces

x no es igual a 7

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 9 = 0$$
$$x - 3 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 9 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 9$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 9
2.
$$x - 3 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 3$$
Obtenemos la respuesta: x2 = 3
pero

x no es igual a 7

$$x_{1} = 9$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 9$$
$$x_{2} = 3$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 9$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 3$$
=
$$\frac{29}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x - 9\right) \left(x - 3\right)}{x - 7} \geq 0$$
$$\frac{\left(-9 + \frac{29}{10}\right) \left(-3 + \frac{29}{10}\right)}{-7 + \frac{29}{10}} \geq 0$$

-61      
---- >= 0
410      

pero

-61     
---- < 0
410     

Entonces
$$x \leq 3$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq 3 \wedge x \leq 9$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1