(2x-10)²/(x-3)(x-6)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(2 x - 10\right)^{2}}{x - 3} \left(x - 6\right) > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(2 x - 10\right)^{2}}{x - 3} \left(x - 6\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(2 x - 10\right)^{2}}{x - 3} \left(x - 6\right) = 0$$
denominador
$$x - 3$$
entonces

x no es igual a 3

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 6 = 0$$
$$2 x - 10 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 6 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 6$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 6
3.
$$2 x - 10 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$2 x = 10$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

x = 10 / (2)

Obtenemos la respuesta: x2 = 5
pero

x no es igual a 3

$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = 5$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 5$$
$$x_{1} = 6$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 5$$
=
$$\frac{49}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(2 x - 10\right)^{2}}{x - 3} \left(x - 6\right) > 0$$
$$\frac{\left(-10 + \frac{2 \cdot 49}{10}\right)^{2}}{-3 + \frac{49}{10}} \left(-6 + \frac{49}{10}\right) > 0$$

-11     
---- > 0
475     

Entonces
$$x < 5$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 5 \wedge x < 6$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1