|x/3+1|>2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{\frac{x}{3} + 1}\right| > 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{\frac{x}{3} + 1}\right| = 2$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$\frac{x}{3} + 1 \geq 0$$
o
$$-3 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(\frac{x}{3} + 1\right) - 2 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$\frac{x}{3} - 1 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 3$$

2.
$$\frac{x}{3} + 1 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -3$$
obtenemos la ecuación
$$\left(- \frac{x}{3} - 1\right) - 2 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- \frac{x}{3} - 3 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = -9$$


$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -9$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -9$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -9$$
$$x_{1} = 3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-9 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{91}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{\frac{x}{3} + 1}\right| > 2$$
$$\left|{\frac{-91}{3 \cdot 10} + 1}\right| > 2$$

61    
-- > 2
30    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < -9$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < -9$$
$$x > 3$$