(x+7)*(x+1)*(x-4)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x + 1\right) \left(x + 7\right) \left(x - 4\right) < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x + 1\right) \left(x + 7\right) \left(x - 4\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x + 1\right) \left(x + 7\right) \left(x - 4\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 4 = 0$$
$$x + 1 = 0$$
$$x + 7 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 4 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 4$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 4
2.
$$x + 1 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -1$$
Obtenemos la respuesta: x2 = -1
3.
$$x + 7 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -7$$
Obtenemos la respuesta: x3 = -7
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = -7$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = -7$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = -7$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 4$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$-7 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{71}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x + 1\right) \left(x + 7\right) \left(x - 4\right) < 0$$
$$\left(- \frac{71}{10} + 1\right) \left(- \frac{71}{10} + 7\right) \left(- \frac{71}{10} - 4\right) < 0$$

-6771     
------ < 0
 1000     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < -7$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------ο-------ο-------ο-------
       x3      x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < -7$$
$$x > -1 \wedge x < 4$$