2cos2x–cosx-1>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(- \cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) - 1 > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(- \cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) - 1 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(- \cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) - 1 = 0$$
cambiamos
$$- \cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
$$4 \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} - 2 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 4$$
$$b = -1$$
$$c = -2$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (4) * (-2) = 33

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8}$$
$$w_{2} = \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{33}}{8}$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{33}}{8} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{33}}{8} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{33}}{8} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{33}}{8} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{33}}{8} \right)}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{7} i}{4} \right)}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{7} i}{4} \right)}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - i \log{\left(- \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{7} i}{4} \right)}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{7} i}{4} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - i \log{\left(- \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{7} i}{4} \right)}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{7} i}{4} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=

       /          ___\     
       |  3   I*\/ 7 |   1 
- I*log|- - - -------| - --
       \  4      4   /   10

=
$$- i \log{\left(- \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{7} i}{4} \right)} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(- \cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) - 1 > 0$$

     /  /            /          ___\\\      /            /          ___\\        
     |  |  1         |  3   I*\/ 7 |||      |  1         |  3   I*\/ 7 ||        
2*cos|2*|- -- - I*log|- - - -------||| - cos|- -- - I*log|- - - -------|| - 1 > 0
     \  \  10        \  4      4   ///      \  10        \  4      4   //        

        /          /          ___\\        /           /          ___\\    
        |1         |  3   I*\/ 7 ||        |1          |  3   I*\/ 7 ||    
-1 - cos|-- + I*log|- - - -------|| + 2*cos|- + 2*I*log|- - - -------|| > 0
        \10        \  4      4   //        \5          \  4      4   //    
    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - i \log{\left(- \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{7} i}{4} \right)}$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------ο-------ο-------ο-------
       x2      x1      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - i \log{\left(- \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{7} i}{4} \right)}$$
$$x > 0 \wedge x < - i \log{\left(- \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{7} i}{4} \right)}$$