x^2+6x-51<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x^{2} + 6 x\right) - 51 < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x^{2} + 6 x\right) - 51 = 0$$
Resolvemos:
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 6$$
$$c = -51$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(6)^2 - 4 * (1) * (-51) = 240

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = -3 + 2 \sqrt{15}$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{15} - 3$$
$$x_{1} = -3 + 2 \sqrt{15}$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{15} - 3$$
$$x_{1} = -3 + 2 \sqrt{15}$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{15} - 3$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - 2 \sqrt{15} - 3$$
$$x_{1} = -3 + 2 \sqrt{15}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- 2 \sqrt{15} - 3\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- 2 \sqrt{15} - \frac{31}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x^{2} + 6 x\right) - 51 < 0$$
$$-51 + \left(6 \left(- 2 \sqrt{15} - \frac{31}{10}\right) + \left(- 2 \sqrt{15} - \frac{31}{10}\right)^{2}\right) < 0$$

                         2                
  348   /  31       ____\         ____    
- --- + |- -- - 2*\/ 15 |  - 12*\/ 15  < 0
   5    \  10           /                 
    

pero

                         2                
  348   /  31       ____\         ____    
- --- + |- -- - 2*\/ 15 |  - 12*\/ 15  > 0
   5    \  10           /                 
    

Entonces
$$x < - 2 \sqrt{15} - 3$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - 2 \sqrt{15} - 3 \wedge x < -3 + 2 \sqrt{15}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1