x^2+6x+51<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x^{2} + 6 x\right) + 51 < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x^{2} + 6 x\right) + 51 = 0$$
Resolvemos:
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 6$$
$$c = 51$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(6)^2 - 4 * (1) * (51) = -168

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = -3 + \sqrt{42} i$$
$$x_{2} = -3 - \sqrt{42} i$$
$$x_{1} = -3 + \sqrt{42} i$$
$$x_{2} = -3 - \sqrt{42} i$$
Descartamos las soluciones complejas:
Esta ecuación no tiene soluciones,
significa que esta desigualdad se cumple siempre o no se cumple nunca
comprobemos
sustituimos con un punto arbitrario, por ejemplo

x0 = 0

$$\left(0^{2} + 0 \cdot 6\right) + 51 < 0$$

51 < 0

pero

51 > 0

signo desigualdades no tiene soluciones