20x^2-32x+3/3x^2+7x+2<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(7 x + \left(x^{2} + \left(20 x^{2} - 32 x\right)\right)\right) + 2 \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(7 x + \left(x^{2} + \left(20 x^{2} - 32 x\right)\right)\right) + 2 = 0$$
Resolvemos:
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 21$$
$$b = -25$$
$$c = 2$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-25)^2 - 4 * (21) * (2) = 457

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{\sqrt{457}}{42} + \frac{25}{42}$$
$$x_{2} = \frac{25}{42} - \frac{\sqrt{457}}{42}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{457}}{42} + \frac{25}{42}$$
$$x_{2} = \frac{25}{42} - \frac{\sqrt{457}}{42}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{457}}{42} + \frac{25}{42}$$
$$x_{2} = \frac{25}{42} - \frac{\sqrt{457}}{42}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{25}{42} - \frac{\sqrt{457}}{42}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{457}}{42} + \frac{25}{42}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(\frac{25}{42} - \frac{\sqrt{457}}{42}\right)$$
=
$$\frac{52}{105} - \frac{\sqrt{457}}{42}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(7 x + \left(x^{2} + \left(20 x^{2} - 32 x\right)\right)\right) + 2 \leq 0$$
$$\left(7 \left(\frac{52}{105} - \frac{\sqrt{457}}{42}\right) + \left(\left(\frac{52}{105} - \frac{\sqrt{457}}{42}\right)^{2} + \left(20 \left(\frac{52}{105} - \frac{\sqrt{457}}{42}\right)^{2} - 32 \left(\frac{52}{105} - \frac{\sqrt{457}}{42}\right)\right)\right)\right) + 2 \leq 0$$

                          2                  
           /        _____\         _____     
  218      | 52   \/ 457 |    25*\/ 457  <= 0
- --- + 21*|--- - -------|  + ----------     
   21      \105      42  /        42         

pero

                          2                  
           /        _____\         _____     
  218      | 52   \/ 457 |    25*\/ 457  >= 0
- --- + 21*|--- - -------|  + ----------     
   21      \105      42  /        42         

Entonces
$$x \leq \frac{25}{42} - \frac{\sqrt{457}}{42}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{25}{42} - \frac{\sqrt{457}}{42} \wedge x \leq \frac{\sqrt{457}}{42} + \frac{25}{42}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1