lg(x)^2*2lg(x)>3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$2 \log{\left(x \right)}^{2} \log{\left(x \right)} > 3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$2 \log{\left(x \right)}^{2} \log{\left(x \right)} = 3$$
Resolvemos:
$$x_{1} = e^{\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}}{2}}$$
$$x_{2} = e^{- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{4}}$$
$$x_{3} = e^{- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{4}}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = e^{\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}}{2}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = e^{\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}}{2}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}}{2}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}}{2}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$2 \log{\left(x \right)}^{2} \log{\left(x \right)} > 3$$
$$2 \log{\left(- \frac{1}{10} + e^{\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}}{2}} \right)}^{2} \log{\left(- \frac{1}{10} + e^{\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}}{2}} \right)} > 3$$

      /         2/3 3 ___\    
      |        2   *\/ 3 |    
      |        ----------|    
     3|  1         2     | > 3
2*log |- -- + e          |    
      \  10              /    
    

Entonces
$$x < e^{\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}}{2}}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > e^{\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}}{2}}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1