lg^2x+lgx<=2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)} \leq 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)} = 2$$
Resolvemos:
$$x_{1} = e$$
$$x_{2} = e^{-2}$$
$$x_{1} = e$$
$$x_{2} = e^{-2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = e^{-2}$$
$$x_{1} = e$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{-2}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{-2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)} \leq 2$$
$$\log{\left(- \frac{1}{10} + e^{-2} \right)} + \log{\left(- \frac{1}{10} + e^{-2} \right)}^{2} \leq 2$$

   2/  1     -2\      /  1     -2\     
log |- -- + e  | + log|- -- + e  | <= 2
    \  10      /      \  10      /     

pero

   2/  1     -2\      /  1     -2\     
log |- -- + e  | + log|- -- + e  | >= 2
    \  10      /      \  10      /     

Entonces
$$x \leq e^{-2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq e^{-2} \wedge x \leq e$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1