35cos(x)^2+2cos(x)-1<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(35 \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) - 1 < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(35 \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(35 \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
cambiamos
$$35 \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} - 1 = 0$$
$$\left(35 \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 35$$
$$b = 2$$
$$c = -1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (35) * (-1) = 144

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = \frac{1}{7}$$
$$w_{2} = - \frac{1}{5}$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{1} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{3} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
$$x_{1} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{3} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
$$x_{3} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{1} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)} + 2 \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{4}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{4} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(35 \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) - 1 < 0$$
$$-1 + \left(35 \cos^{2}{\left(- \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)} \right)} + 2 \cos{\left(- \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)} \right)}\right) < 0$$

                                     2                      
-1 + 2*cos(1/10 - acos(1/7)) + 35*cos (1/10 - acos(1/7)) < 0
    

pero

                                     2                      
-1 + 2*cos(1/10 - acos(1/7)) + 35*cos (1/10 - acos(1/7)) > 0
    

Entonces
$$x < \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)} \wedge x < \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$

         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x4      x3      x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x > \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)} \wedge x < \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x > - \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)} + 2 \pi \wedge x < - \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)} + 2 \pi$$