Sr Examen
Otras calculadoras
- Sistemas de desigualdades paso a paso
- Ecuaciones básicas paso a paso
- Sistemas de ecuaciones paso a paso
- Solución de desigualdades trigonométricas en línea
- Resolución de desigualdades exponenciales en línea
- Resolución de desigualdades con un módulo en línea
-
¿Cómo usar?
- Desigualdades:
-
(x+3)/(5-2x)<0
-
x^2>9
-
x^2-10x<0
- 5(y-1,4)-6<4y-1,5
-
Expresiones idénticas
- 35cos(x)^ dos +2cos(x)- uno < cero
- 35 coseno de (x) al cuadrado más 2 coseno de (x) menos 1 menos 0
- 35 coseno de (x) en el grado dos más 2 coseno de (x) menos uno menos cero
- 35cos(x)2+2cos(x)-1<0
- 35cosx2+2cosx-1<0
- 35cos(x)²+2cos(x)-1<0
- 35cos(x) en el grado 2+2cos(x)-1<0
- 35cosx^2+2cosx-1<0
-
Expresiones semejantes
- 35cos(x)^2+2cos(x)+1<0
- 35cos(x)^2-2cos(x)-1<0
- 35cosx^2+2cosx-1<0
35cos(x)^2+2cos(x)-1<0 desigualdades
Solución
Ha introducido
[src]
2 35*cos (x) + 2*cos(x) - 1 < 0
$$\left(35 \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) - 1 < 0$$
35*cos(x)^2 + 2*cos(x) - 1 < 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\left(35 \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) - 1 < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(35 \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(35 \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
cambiamos
$$35 \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} - 1 = 0$$
$$\left(35 \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 35$$
$$b = 2$$
$$c = -1$$
, entonces
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
o
$$w_{1} = \frac{1}{7}$$
$$w_{2} = - \frac{1}{5}$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{1} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{3} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
$$x_{1} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{3} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
$$x_{3} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{1} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)} + 2 \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{4}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{4} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(35 \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) - 1 < 0$$
$$-1 + \left(35 \cos^{2}{\left(- \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)} \right)} + 2 \cos{\left(- \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)} \right)}\right) < 0$$
pero
Entonces
$$x < \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)} \wedge x < \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x > \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)} \wedge x < \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x > - \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)} + 2 \pi \wedge x < - \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)} + 2 \pi$$
$$\left(35 \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) - 1 < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(35 \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(35 \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
cambiamos
$$35 \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} - 1 = 0$$
$$\left(35 \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma
a*w^2 + b*w + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 35$$
$$b = 2$$
$$c = -1$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(2)^2 - 4 * (35) * (-1) = 144
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$w_{1} = \frac{1}{7}$$
$$w_{2} = - \frac{1}{5}$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{1} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{3} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
$$x_{1} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{3} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
$$x_{3} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{1} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)} + 2 \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{4}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{4} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(35 \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) - 1 < 0$$
$$-1 + \left(35 \cos^{2}{\left(- \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)} \right)} + 2 \cos{\left(- \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)} \right)}\right) < 0$$
2
-1 + 2*cos(1/10 - acos(1/7)) + 35*cos (1/10 - acos(1/7)) < 0
pero
2
-1 + 2*cos(1/10 - acos(1/7)) + 35*cos (1/10 - acos(1/7)) > 0
Entonces
$$x < \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)} \wedge x < \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
_____ _____
/ \ / \
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
x4 x3 x1 x2Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x > \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)} \wedge x < \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)}$$
$$x > - \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{5} \right)} + 2 \pi \wedge x < - \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{7} \right)} + 2 \pi$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida
[src]
/ / / ___\ / ___\ \ / / ___\ / ___\ \\ Or\And\x < - atan\4*\/ 3 / + 2*pi, pi + atan\2*\/ 6 / < x/, And\x < pi - atan\2*\/ 6 /, atan\4*\/ 3 / < x//
$$\left(x < - \operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{3} \right)} + 2 \pi \wedge \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} \right)} + \pi < x\right) \vee \left(x < \pi - \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} \right)} \wedge \operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{3} \right)} < x\right)$$
((atan(4*sqrt(3)) < x)∧(x < pi - atan(2*sqrt(6))))∨((pi + atan(2*sqrt(6)) < x)∧(x < -atan(4*sqrt(3)) + 2*pi))
Respuesta rápida 2
[src]
/ ___\ / ___\ / ___\ / ___\ (atan\4*\/ 3 /, pi - atan\2*\/ 6 /) U (pi + atan\2*\/ 6 /, - atan\4*\/ 3 / + 2*pi)
$$x\ in\ \left(\operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{3} \right)}, \pi - \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} \right)}\right) \cup \left(\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} \right)} + \pi, - \operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{3} \right)} + 2 \pi\right)$$
x in Union(Interval.open(atan(2*sqrt(6)) + pi, -atan(4*sqrt(3)) + 2*pi), Interval.open(atan(4*sqrt(3)), pi - atan(2*sqrt(6))))