1/(x+1)+1/(3-x)<=1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{3 - x} \leq 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{3 - x} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{3 - x} = 1$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
1 + x y 3 - x
obtendremos:
$$\left(x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{3 - x}\right) = x + 1$$
$$- \frac{4}{x - 3} = x + 1$$
$$\left(3 - x\right) \left(- \frac{4}{x - 3}\right) = \left(3 - x\right) \left(x + 1\right)$$
$$4 = - x^{2} + 2 x + 3$$
Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.

La ecuación se convierte de
$$4 = - x^{2} + 2 x + 3$$
en
$$x^{2} - 2 x + 1 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = 1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (1) * (1) = 0

Como D = 0 hay sólo una raíz.

x = -b/2a = --2/2/(1)

$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 1$$
=
$$\frac{9}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{3 - x} \leq 1$$
$$\frac{1}{3 - \frac{9}{10}} + \frac{1}{\frac{9}{10} + 1} \leq 1$$

400     
--- <= 1
399     

pero

400     
--- >= 1
399     

Entonces
$$x \leq 1$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq 1$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1