4*5^(2x+1)-60*5^(x-1)+1<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(- 60 \cdot 5^{x - 1} + 4 \cdot 5^{2 x + 1}\right) + 1 \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(- 60 \cdot 5^{x - 1} + 4 \cdot 5^{2 x + 1}\right) + 1 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(- 60 \cdot 5^{x - 1} + 4 \cdot 5^{2 x + 1}\right) + 1 = 0$$
o
$$\left(- 60 \cdot 5^{x - 1} + 4 \cdot 5^{2 x + 1}\right) + 1 = 0$$
Sustituimos
$$v = 5^{x}$$
obtendremos
$$20 v^{2} - 12 v + 1 = 0$$
o
$$20 v^{2} - 12 v + 1 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*v^2 + b*v + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 20$$
$$b = -12$$
$$c = 1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-12)^2 - 4 * (20) * (1) = 64

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$v_{1} = \frac{1}{2}$$
$$v_{2} = \frac{1}{10}$$
hacemos cambio inverso
$$5^{x} = v$$
o
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{10}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{10}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{1}{10}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{10}$$
=
$$0$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(- 60 \cdot 5^{x - 1} + 4 \cdot 5^{2 x + 1}\right) + 1 \leq 0$$
$$1 + \left(- \frac{60}{5} + 4 \cdot 5^{0 \cdot 2 + 1}\right) \leq 0$$

9 <= 0

pero

9 >= 0

Entonces
$$x \leq \frac{1}{10}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{1}{10} \wedge x \leq \frac{1}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2