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3x^2-4x+1>0 desigualdades

Ha introducido [src]

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3*x  - 4*x + 1 > 0

\left(3 x^{2} - 4 x\right) + 1 > 0

3*x^2 - 4*x + 1 > 0

Solución detallada

Se da la desigualdad:

\left(3 x^{2} - 4 x\right) + 1 > 0

Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:

\left(3 x^{2} - 4 x\right) + 1 = 0

Resolvemos:
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:

x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}

x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}

donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como

a = 3

b = -4

c = 1

, entonces

D = b^2 - 4 * a * c =

(-4)^2 - 4 * (3) * (1) = 4

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

x_{1} = 1

x_{2} = \frac{1}{3}

x_{1} = 1

x_{2} = \frac{1}{3}

x_{1} = 1

x_{2} = \frac{1}{3}

Las raíces dadas

x_{2} = \frac{1}{3}

x_{1} = 1

son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:

x_{0} < x_{2}

Consideremos, por ejemplo, el punto

x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}

- \frac{1}{10} + \frac{1}{3}

\frac{7}{30}

lo sustituimos en la expresión

\left(3 x^{2} - 4 x\right) + 1 > 0

\left(- \frac{4 \cdot 7}{30} + 3 \left(\frac{7}{30}\right)^{2}\right) + 1 > 0

 23    
--- > 0
100

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:

x < \frac{1}{3}

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:

x < \frac{1}{3}

x > 1

Solución de la desigualdad en el gráfico

Respuesta rápida [src]

Or(And(-oo < x, x < 1/3), And(1 < x, x < oo))

\left(-\infty < x \wedge x < \frac{1}{3}\right) \vee \left(1 < x \wedge x < \infty\right)

((-oo < x)∧(x < 1/3))∨((1 < x)∧(x < oo))

Respuesta rápida 2 [src]

(-oo, 1/3) U (1, oo)

x\ in\ \left(-\infty, \frac{1}{3}\right) \cup \left(1, \infty\right)

x in Union(Interval.open(-oo, 1/3), Interval.open(1, oo))

Gráfico