3x^2-4x+1>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(3 x^{2} - 4 x\right) + 1 > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(3 x^{2} - 4 x\right) + 1 = 0$$
Resolvemos:
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 3$$
$$b = -4$$
$$c = 1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4)^2 - 4 * (3) * (1) = 4

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{3}$$
=
$$\frac{7}{30}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(3 x^{2} - 4 x\right) + 1 > 0$$
$$\left(- \frac{4 \cdot 7}{30} + 3 \left(\frac{7}{30}\right)^{2}\right) + 1 > 0$$

 23    
--- > 0
100    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \frac{1}{3}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \frac{1}{3}$$
$$x > 1$$