((x-1)(x-5))/(x-9)=> desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x - 5\right) \left(x - 1\right)}{x - 9} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x - 5\right) \left(x - 1\right)}{x - 9} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(x - 5\right) \left(x - 1\right)}{x - 9} = 0$$
denominador
$$x - 9$$
entonces

x no es igual a 9

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 5 = 0$$
$$x - 1 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 5 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 5$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 5
2.
$$x - 1 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 1$$
Obtenemos la respuesta: x2 = 1
pero

x no es igual a 9

$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 1$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 5$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 1$$
=
$$\frac{9}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x - 5\right) \left(x - 1\right)}{x - 9} \geq 0$$
$$\frac{\left(-5 + \frac{9}{10}\right) \left(-1 + \frac{9}{10}\right)}{-9 + \frac{9}{10}} \geq 0$$

-41      
---- >= 0
810      

pero

-41     
---- < 0
810     

Entonces
$$x \leq 1$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq 1 \wedge x \leq 5$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1