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log^2(((3^x)-1)/4)>=3/4 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
    / x    \       
   2|3  - 1|       
log |------| >= 3/4
    \  4   /       
$$\log{\left(\frac{3^{x} - 1}{4} \right)}^{2} \geq \frac{3}{4}$$
log((3^x - 1)/4)^2 >= 3/4
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\log{\left(\frac{3^{x} - 1}{4} \right)}^{2} \geq \frac{3}{4}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(\frac{3^{x} - 1}{4} \right)}^{2} = \frac{3}{4}$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 2.14116061843409 + 11.4384034695205 i$$
$$x_{2} = 2.14116061843409$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = 2.14116061843409$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2.14116061843409$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 2.14116061843409$$
=
$$2.04116061843409$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(\frac{3^{x} - 1}{4} \right)}^{2} \geq \frac{3}{4}$$
$$\log{\left(\frac{-1 + 3^{2.04116061843409}}{4} \right)}^{2} \geq \frac{3}{4}$$
0.553354591696652 >= 3/4

pero
0.553354591696652 < 3/4

Entonces
$$x \leq 2.14116061843409$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq 2.14116061843409$$
         _____  
        /
-------•-------
       x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida 2 [src]
       /          ___ \        /         ___\     
       |       -\/ 3  |        |       \/ 3 |     
       |       -------|        |       -----|     
       |          2   |        |         2  |     
    log\1 + 4*e       /     log\1 + 4*e     /     
(0, -------------------] U [-----------------, oo)
           log(3)                 log(3)          
$$x\ in\ \left(0, \frac{\log{\left(1 + \frac{4}{e^{\frac{\sqrt{3}}{2}}} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right] \cup \left[\frac{\log{\left(1 + 4 e^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}, \infty\right)$$
x in Union(Interval.Lopen(0, log(1 + 4*exp(-sqrt(3)/2))/log(3)), Interval(log(1 + 4*exp(sqrt(3)/2))/log(3), oo))
Respuesta rápida [src]
  /   /        /          ___ \       \     /         ___\     \
  |   |        |       -\/ 3  |       |     |       \/ 3 |     |
  |   |        |       -------|       |     |       -----|     |
  |   |        |          2   |       |     |         2  |     |
  |   |     log\1 + 4*e       /       |  log\1 + 4*e     /     |
Or|And|x <= -------------------, 0 < x|, ----------------- <= x|
  \   \            log(3)             /        log(3)          /
$$\left(x \leq \frac{\log{\left(1 + \frac{4}{e^{\frac{\sqrt{3}}{2}}} \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \wedge 0 < x\right) \vee \frac{\log{\left(1 + 4 e^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \leq x$$
(log(1 + 4*exp(sqrt(3)/2))/log(3) <= x)∨((0 < x)∧(x <= log(1 + 4*exp(-sqrt(3)/2))/log(3)))