3x+sqrt(2x-2)<3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$3 x + \sqrt{2 x - 2} < 3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$3 x + \sqrt{2 x - 2} = 3$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$3 x + \sqrt{2 x - 2} = 3$$
$$\sqrt{2 x - 2} = 3 - 3 x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$2 x - 2 = \left(3 - 3 x\right)^{2}$$
$$2 x - 2 = 9 x^{2} - 18 x + 9$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 9 x^{2} + 20 x - 11 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -9$$
$$b = 20$$
$$c = -11$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(20)^2 - 4 * (-9) * (-11) = 4

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \frac{11}{9}$$

Como
$$\sqrt{2 x - 2} = 3 - 3 x$$
y
$$\sqrt{2 x - 2} \geq 0$$
entonces
$$3 - 3 x \geq 0$$
o
$$x \leq 1$$
$$-\infty < x$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 1$$
=
$$\frac{9}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$3 x + \sqrt{2 x - 2} < 3$$
$$\frac{3 \cdot 9}{10} + \sqrt{-2 + \frac{2 \cdot 9}{10}} < 3$$

         ___    
27   I*\/ 5     
-- + ------- < 3
10      5       
    

Entonces
$$x < 1$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > 1$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1