|x+1|+|2x-2|<4 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x + 1}\right| + \left|{2 x - 2}\right| < 4$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x + 1}\right| + \left|{2 x - 2}\right| = 4$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x + 1 \geq 0$$
$$2 x - 2 \geq 0$$
o
$$1 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x + 1\right) + \left(2 x - 2\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$3 x - 5 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{5}{3}$$

2.
$$x + 1 \geq 0$$
$$2 x - 2 < 0$$
o
$$-1 \leq x \wedge x < 1$$
obtenemos la ecuación
$$\left(2 - 2 x\right) + \left(x + 1\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x - 1 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = -1$$

3.
$$x + 1 < 0$$
$$2 x - 2 \geq 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

4.
$$x + 1 < 0$$
$$2 x - 2 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -1$$
obtenemos la ecuación
$$\left(2 - 2 x\right) + \left(- x - 1\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 3 x - 3 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = -1$$
pero x3 no satisface a la desigualdad


$$x_{1} = \frac{5}{3}$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = \frac{5}{3}$$
$$x_{2} = -1$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = \frac{5}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x + 1}\right| + \left|{2 x - 2}\right| < 4$$
$$\left|{- \frac{11}{10} + 1}\right| + \left|{\frac{\left(-11\right) 2}{10} - 2}\right| < 4$$

43    
-- < 4
10    

pero

43    
-- > 4
10    

Entonces
$$x < -1$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > -1 \wedge x < \frac{5}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1