(2x+7)*(x-1)-(x+4)(x-5)<=18 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- \left(x - 5\right) \left(x + 4\right) + \left(x - 1\right) \left(2 x + 7\right) \leq 18$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \left(x - 5\right) \left(x + 4\right) + \left(x - 1\right) \left(2 x + 7\right) = 18$$
Resolvemos:
Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.

La ecuación se convierte de
$$- \left(x - 5\right) \left(x + 4\right) + \left(x - 1\right) \left(2 x + 7\right) = 18$$
en
$$\left(- \left(x - 5\right) \left(x + 4\right) + \left(x - 1\right) \left(2 x + 7\right)\right) - 18 = 0$$
Abramos la expresión en la ecuación
$$\left(- \left(x - 5\right) \left(x + 4\right) + \left(x - 1\right) \left(2 x + 7\right)\right) - 18 = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$x^{2} + 6 x - 5 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 6$$
$$c = -5$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(6)^2 - 4 * (1) * (-5) = 56

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = -3 + \sqrt{14}$$
$$x_{2} = - \sqrt{14} - 3$$
$$x_{1} = -3 + \sqrt{14}$$
$$x_{2} = - \sqrt{14} - 3$$
$$x_{1} = -3 + \sqrt{14}$$
$$x_{2} = - \sqrt{14} - 3$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \sqrt{14} - 3$$
$$x_{1} = -3 + \sqrt{14}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \sqrt{14} - 3\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \sqrt{14} - \frac{31}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \left(x - 5\right) \left(x + 4\right) + \left(x - 1\right) \left(2 x + 7\right) \leq 18$$
$$- \left(\left(- \sqrt{14} - \frac{31}{10}\right) - 5\right) \left(\left(- \sqrt{14} - \frac{31}{10}\right) + 4\right) + \left(\left(- \sqrt{14} - \frac{31}{10}\right) - 1\right) \left(2 \left(- \sqrt{14} - \frac{31}{10}\right) + 7\right) \leq 18$$

/  41     ____\ /4       ____\   /  81     ____\ /9      ____\      
|- -- - \/ 14 |*|- - 2*\/ 14 | - |- -- - \/ 14 |*|-- - \/ 14 | <= 18
\  10         / \5           /   \  10         / \10         /      

pero

/  41     ____\ /4       ____\   /  81     ____\ /9      ____\      
|- -- - \/ 14 |*|- - 2*\/ 14 | - |- -- - \/ 14 |*|-- - \/ 14 | >= 18
\  10         / \5           /   \  10         / \10         /      

Entonces
$$x \leq - \sqrt{14} - 3$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - \sqrt{14} - 3 \wedge x \leq -3 + \sqrt{14}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1