x^2-2x+1/(x-1)(x-3)>=-1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{x - 3}{x - 1} + \left(x^{2} - 2 x\right) \geq -1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{x - 3}{x - 1} + \left(x^{2} - 2 x\right) = -1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{x - 3}{x - 1} + \left(x^{2} - 2 x\right) = -1$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - x + 2\right)}{x - 1} = 0$$
denominador
$$x - 1$$
entonces

x no es igual a 1

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 2 = 0$$
$$x^{2} - x + 2 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 2 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 2$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 2
3.
$$x^{2} - x + 2 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = 2$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (2) = -7

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
pero

x no es igual a 1

$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = 2$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 2$$
=
$$\frac{19}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{x - 3}{x - 1} + \left(x^{2} - 2 x\right) \geq -1$$
$$\frac{-3 + \frac{19}{10}}{-1 + \frac{19}{10}} + \left(- \frac{2 \cdot 19}{10} + \left(\frac{19}{10}\right)^{2}\right) \geq -1$$

-1271       
------ >= -1
 900        

pero

-1271      
------ < -1
 900       

Entonces
$$x \leq 2$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq 2$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1