2cosx+1<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$2 \cos{\left(x \right)} + 1 < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$2 \cos{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$2 \cos{\left(x \right)} + 1 = 0$$
es la ecuación trigonométrica más simple

Transportemos 1 al miembro derecho de la ecuación

cambiando el signo de 1

Obtenemos:
$$2 \cos{\left(x \right)} = -1$$

Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

La ecuación se convierte en
$$\cos{\left(x \right)} = - \frac{1}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
O
$$x = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
, donde n es cualquier número entero
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{2 \pi}{3}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3}$$
lo sustituimos en la expresión
$$2 \cos{\left(x \right)} + 1 < 0$$
$$2 \cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{2 \pi}{3} \right)} + 1 < 0$$

         /  1    pi       \    
1 - 2*sin|- -- + -- + pi*n| < 0
         \  10   6        /    

pero

         /  1    pi       \    
1 - 2*sin|- -- + -- + pi*n| > 0
         \  10   6        /    

Entonces
$$x < \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \pi n + \frac{2 \pi}{3} \wedge x < \pi n - \frac{\pi}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2