Sr Examen

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ctg(x)>=-sqrt(3)/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
             ___ 
          -\/ 3  
cot(x) >= -------
             2   
$$\cot{\left(x \right)} \geq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
cot(x) >= (-sqrt(3))/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\cot{\left(x \right)} \geq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cot{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cot{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
cambiamos
$$\cot{\left(x \right)} - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$$
$$\cot{\left(x \right)} - 1 - \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2} = 0$$
Sustituimos
$$w = \cot{\left(x \right)}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
-1 + w - -sqrt+3)/2 = 0

Transportamos los términos libres (sin w)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$w + \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en (w + sqrt(3)/2)/w
w = 1 / ((w + sqrt(3)/2)/w)

Obtenemos la respuesta: w = 1 - sqrt(3)/2
hacemos cambio inverso
$$\cot{\left(x \right)} = w$$
sustituimos w:
$$x_{1} = - \operatorname{acot}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = - \operatorname{acot}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \operatorname{acot}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \operatorname{acot}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \operatorname{acot}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cot{\left(x \right)} \geq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
$$\cot{\left(- \operatorname{acot}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)} - \frac{1}{10} \right)} \geq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{2}$$
    /         /  ___\\       ___ 
    |1        |\/ 3 ||    -\/ 3  
-cot|-- + acot|-----|| >= -------
    \10       \  2  //       2   
    

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \leq - \operatorname{acot}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
 _____          
      \    
-------•-------
       x1