(x-3)*(x-4)*(x-5)^2>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x - 5\right)^{2} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x - 5\right)^{2} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x - 5\right)^{2} = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 4 = 0$$
$$x - 3 = 0$$
$$x - 5 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 4 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 4$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 4
2.
$$x - 3 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 3$$
Obtenemos la respuesta: x2 = 3
3.
$$x - 5 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 5$$
Obtenemos la respuesta: x3 = 5
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = 5$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = 5$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{3} = 5$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 3$$
=
$$\frac{29}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x - 5\right)^{2} \geq 0$$
$$\left(-4 + \frac{29}{10}\right) \left(-3 + \frac{29}{10}\right) \left(-5 + \frac{29}{10}\right)^{2} \geq 0$$

 4851     
----- >= 0
10000     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq 3$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------•-------•-------•-------
       x2      x1      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq 3$$
$$x \geq 4 \wedge x \leq 5$$