((2x-1)(x+3))/(x-5)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x + 3\right) \left(2 x - 1\right)}{x - 5} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x + 3\right) \left(2 x - 1\right)}{x - 5} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(x + 3\right) \left(2 x - 1\right)}{x - 5} = 0$$
denominador
$$x - 5$$
entonces

x no es igual a 5

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x + 3 = 0$$
$$2 x - 1 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x + 3 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -3$$
Obtenemos la respuesta: x1 = -3
3.
$$2 x - 1 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$2 x = 1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

x = 1 / (2)

Obtenemos la respuesta: x2 = 1/2
pero

x no es igual a 5

$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-3 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x + 3\right) \left(2 x - 1\right)}{x - 5} \leq 0$$
$$\frac{\left(- \frac{31}{10} + 3\right) \left(\frac{\left(-31\right) 2}{10} - 1\right)}{-5 + - \frac{31}{10}} \leq 0$$

-4/45 <= 0

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq -3$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq -3$$
$$x \geq \frac{1}{2}$$