Sr Examen
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- Resolución de desigualdades con un módulo en línea
-
¿Cómo usar?
- Desigualdades:
-
x^2>1
-
-x^2+3x-2<0
-
(x-2)/(x-4)>0
-
x+1>0
-
Expresiones idénticas
- dos sin(x/2)+ uno > cero
- 2 seno de (x dividir por 2) más 1 más 0
- dos seno de (x dividir por 2) más uno más cero
- 2sinx/2+1>0
- 2sin(x dividir por 2)+1>0
-
Expresiones semejantes
- 2sin(x/2)-1>0
2sin(x/2)+1>0 desigualdades
Solución
Ha introducido
[src]
/x\
2*sin|-| + 1 > 0
\2/
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 > 0$$
2*sin(x/2) + 1 > 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 = 0$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Obtenemos:
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = -1$$
La ecuación se convierte en
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \frac{1}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
O
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 4 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{7 \pi}{3}$$
$$x_{1} = 4 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{7 \pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 4 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{7 \pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(4 \pi n - \frac{\pi}{3}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n - \frac{\pi}{3} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 > 0$$
$$2 \sin{\left(\frac{4 \pi n - \frac{\pi}{3} - \frac{1}{10}}{2} \right)} + 1 > 0$$
Entonces
$$x < 4 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 4 \pi n - \frac{\pi}{3} \wedge x < 4 \pi n + \frac{7 \pi}{3}$$
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 = 0$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Transportemos 1 al miembro derecho de la ecuación
cambiando el signo de 1
Obtenemos:
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = -1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2
La ecuación se convierte en
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \frac{1}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
O
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 4 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{7 \pi}{3}$$
$$x_{1} = 4 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{7 \pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 4 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{7 \pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(4 \pi n - \frac{\pi}{3}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n - \frac{\pi}{3} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 > 0$$
$$2 \sin{\left(\frac{4 \pi n - \frac{\pi}{3} - \frac{1}{10}}{2} \right)} + 1 > 0$$
/1 pi \
1 - 2*sin|-- + -- - 2*pi*n| > 0
\20 6 / Entonces
$$x < 4 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 4 \pi n - \frac{\pi}{3} \wedge x < 4 \pi n + \frac{7 \pi}{3}$$
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x1 x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida 2
[src]
7*pi 11*pi
[0, ----) U (-----, 4*pi]
3 3
$$x\ in\ \left[0, \frac{7 \pi}{3}\right) \cup \left(\frac{11 \pi}{3}, 4 \pi\right]$$
x in Union(Interval.Ropen(0, 7*pi/3), Interval.Lopen(11*pi/3, 4*pi))
Respuesta rápida
[src]
/ / 7*pi\ / 11*pi \\ Or|And|0 <= x, x < ----|, And|x <= 4*pi, ----- < x|| \ \ 3 / \ 3 //
$$\left(0 \leq x \wedge x < \frac{7 \pi}{3}\right) \vee \left(x \leq 4 \pi \wedge \frac{11 \pi}{3} < x\right)$$
((0 <= x)∧(x < 7*pi/3))∨((x <= 4*pi)∧(11*pi/3 < x))
Gráfico