1/5lgx+2/1+lgx<1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{5} + 2\right) + \log{\left(x \right)} < 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{5} + 2\right) + \log{\left(x \right)} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{5} + 2\right) + \log{\left(x \right)} = 1$$
$$\frac{6 \log{\left(x \right)}}{5} = -1$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de log =6/5
$$\log{\left(x \right)} = - \frac{5}{6}$$
Es la ecuación de la forma:

log(v)=p

Por definición log

v=e^p

entonces
$$x = e^{- \frac{1}{\frac{6}{5}}}$$
simplificamos
$$x = e^{- \frac{5}{6}}$$
$$x_{1} = e^{- \frac{5}{6}}$$
$$x_{1} = e^{- \frac{5}{6}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = e^{- \frac{5}{6}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{- \frac{5}{6}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{- \frac{5}{6}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{5} + 2\right) + \log{\left(x \right)} < 1$$
$$\log{\left(- \frac{1}{10} + e^{- \frac{5}{6}} \right)} + \left(\frac{\log{\left(- \frac{1}{10} + e^{- \frac{5}{6}} \right)}}{5} + 2\right) < 1$$

         /  1     -5/6\    
    6*log|- -- + e    |    
         \  10        / < 1
2 + -------------------    
             5             

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < e^{- \frac{5}{6}}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1