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Resolver desigualdades/ 2x²-4x+1<0

2x²-4x+1<0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
   2              
2*x  - 4*x + 1 < 0
$$\left(2 x^{2} - 4 x\right) + 1 < 0$$ 
2*x^2 - 4*x + 1 < 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\left(2 x^{2} - 4 x\right) + 1 < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(2 x^{2} - 4 x\right) + 1 = 0$$
Resolvemos:
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 2$$
$$b = -4$$
$$c = 1$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4)^2 - 4 * (2) * (1) = 8

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$$
$$x_{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$$
$$x_{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$$
$$x_{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
=
$$\frac{9}{10} - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(2 x^{2} - 4 x\right) + 1 < 0$$
$$\left(- 4 \left(\frac{9}{10} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2 \left(\frac{9}{10} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}\right) + 1 < 0$$
                               2    
                   /       ___\     
  13       ___     |9    \/ 2 |  < 0
- -- + 2*\/ 2  + 2*|-- - -----|     
  5                \10     2  /

pero
                               2    
                   /       ___\     
  13       ___     |9    \/ 2 |  > 0
- -- + 2*\/ 2  + 2*|-- - -----|     
  5                \10     2  /

Entonces
$$x < 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \wedge x < \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$$
         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida [src] 
   /          ___        ___    \
   |        \/ 2       \/ 2     |
And|x < 1 + -----, 1 - ----- < x|
   \          2          2      /
$$x < \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \wedge 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} < x$$ 
(x < 1 + sqrt(2)/2)∧(1 - sqrt(2)/2 < x)
Respuesta rápida 2 [src] 
       ___        ___ 
     \/ 2       \/ 2  
(1 - -----, 1 + -----)
       2          2
$$x\ in\ \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} + 1\right)$$ 
x in Interval.open(1 - sqrt(2)/2, sqrt(2)/2 + 1)
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