|x+1|+|x-4|>7 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x - 4}\right| + \left|{x + 1}\right| > 7$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x - 4}\right| + \left|{x + 1}\right| = 7$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 4 \geq 0$$
$$x + 1 \geq 0$$
o
$$4 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 4\right) + \left(x + 1\right) - 7 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$2 x - 10 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 5$$

2.
$$x - 4 \geq 0$$
$$x + 1 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

3.
$$x - 4 < 0$$
$$x + 1 \geq 0$$
o
$$-1 \leq x \wedge x < 4$$
obtenemos la ecuación
$$\left(4 - x\right) + \left(x + 1\right) - 7 = 0$$
simplificamos, obtenemos
incorrecto
la resolución en este intervalo:

4.
$$x - 4 < 0$$
$$x + 1 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -1$$
obtenemos la ecuación
$$\left(4 - x\right) + \left(- x - 1\right) - 7 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 2 x - 4 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = -2$$


$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = -2$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 5$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x - 4}\right| + \left|{x + 1}\right| > 7$$
$$\left|{- \frac{21}{10} + 1}\right| + \left|{-4 + - \frac{21}{10}}\right| > 7$$

36/5 > 7

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < -2$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < -2$$
$$x > 5$$