log2+x^25<2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x^{25} + \log{\left(2 \right)} < 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x^{25} + \log{\left(2 \right)} = 2$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$x^{25} + \log{\left(2 \right)} = 2$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 25 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 25 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[25]{x^{25}} = \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}}$$
o
$$x = \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

x = 2+log+2)^1/25

Obtenemos la respuesta: x = (2 - log(2))^(1/25)

Las demás 24 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{25} = 2 - \log{\left(2 \right)}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{25} e^{25 i p} = 2 - \log{\left(2 \right)}$$
donde
$$r = \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{25 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(25 p \right)} + \cos{\left(25 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(25 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(25 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{25}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}}$$
$$z_{2} = - \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \cos{\left(\frac{\pi}{25} \right)} - i \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \sin{\left(\frac{\pi}{25} \right)}$$
$$z_{3} = - \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \cos{\left(\frac{\pi}{25} \right)} + i \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \sin{\left(\frac{\pi}{25} \right)}$$
$$z_{4} = \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{25} \right)} - i \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \sin{\left(\frac{2 \pi}{25} \right)}$$
$$z_{5} = \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{25} \right)} + i \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \sin{\left(\frac{2 \pi}{25} \right)}$$
$$z_{6} = - \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{25} \right)} - i \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \sin{\left(\frac{3 \pi}{25} \right)}$$
$$z_{7} = - \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{25} \right)} + i \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \sin{\left(\frac{3 \pi}{25} \right)}$$
$$z_{8} = \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \cos{\left(\frac{4 \pi}{25} \right)} - i \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \sin{\left(\frac{4 \pi}{25} \right)}$$
$$z_{9} = \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \cos{\left(\frac{4 \pi}{25} \right)} + i \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \sin{\left(\frac{4 \pi}{25} \right)}$$
$$z_{10} = \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \cos{\left(\frac{6 \pi}{25} \right)} - i \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \sin{\left(\frac{6 \pi}{25} \right)}$$
$$z_{11} = \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \cos{\left(\frac{6 \pi}{25} \right)} + i \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \sin{\left(\frac{6 \pi}{25} \right)}$$
$$z_{12} = - \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \cos{\left(\frac{7 \pi}{25} \right)} - i \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \sin{\left(\frac{7 \pi}{25} \right)}$$
$$z_{13} = - \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \cos{\left(\frac{7 \pi}{25} \right)} + i \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \sin{\left(\frac{7 \pi}{25} \right)}$$
$$z_{14} = \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \cos{\left(\frac{8 \pi}{25} \right)} - i \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \sin{\left(\frac{8 \pi}{25} \right)}$$
$$z_{15} = \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \cos{\left(\frac{8 \pi}{25} \right)} + i \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \sin{\left(\frac{8 \pi}{25} \right)}$$
$$z_{16} = - \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \cos{\left(\frac{9 \pi}{25} \right)} - i \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \sin{\left(\frac{9 \pi}{25} \right)}$$
$$z_{17} = - \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \cos{\left(\frac{9 \pi}{25} \right)} + i \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \sin{\left(\frac{9 \pi}{25} \right)}$$
$$z_{18} = - \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \cos{\left(\frac{11 \pi}{25} \right)} - i \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \sin{\left(\frac{11 \pi}{25} \right)}$$
$$z_{19} = - \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \cos{\left(\frac{11 \pi}{25} \right)} + i \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \sin{\left(\frac{11 \pi}{25} \right)}$$
$$z_{20} = \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \cos{\left(\frac{12 \pi}{25} \right)} - i \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \sin{\left(\frac{12 \pi}{25} \right)}$$
$$z_{21} = \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \cos{\left(\frac{12 \pi}{25} \right)} + i \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \sin{\left(\frac{12 \pi}{25} \right)}$$
$$z_{22} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}}}{4} - \frac{\sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}}}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}}$$
$$z_{23} = - \frac{\sqrt{5} \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}}}{4} - \frac{\sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}}}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}}$$
$$z_{24} = - \frac{\sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}}}{4} - i \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{25} = - \frac{\sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}}}{4} + \frac{\sqrt{5} \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}}}{4} + i \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$

$$x_{1} = \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x^{25} + \log{\left(2 \right)} < 2$$
$$\left(- \frac{1}{10} + \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}}\right)^{25} + \log{\left(2 \right)} < 2$$

                       25             
/  1    25____________\               
|- -- + \/ 2 - log(2) |   + log(2) < 2
\  10                 /               
    

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < \sqrt[25]{2 - \log{\left(2 \right)}}$$

 _____          
      \    
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       x1