logsin2(x-4)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(\sin{\left(x - 4 \right)} \right)}^{2} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(\sin{\left(x - 4 \right)} \right)}^{2} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\log{\left(\sin{\left(x - 4 \right)} \right)}^{2} = 0$$
cambiamos
$$\log{\left(\sin{\left(x - 4 \right)} \right)}^{2} = 0$$
$$\log{\left(\sin{\left(x - 4 \right)} \right)}^{2} = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(x - 4 \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$\log{\left(\sin{\left(x - 4 \right)} \right)}^{2} = 0$$
es decir
$$\log{\left(\sin{\left(x - 4 \right)} \right)} = 0$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

logsin-4+x) = 0

Transportamos los términos libres (sin w)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$\log{\left(\sin{\left(x - 4 \right)} \right)} + 4 = 4$$
Esta ecuación no tiene soluciones
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(x - 4 \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x - 4 \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x - 4 = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x - 4 = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$x - 4 = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x - 4 = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
$$-4$$
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)} + 4$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi + 4$$
sustituimos w:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2} + 4$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{2} + 4$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi}{2} + 4$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(\frac{\pi}{2} + 4\right)$$
=
$$\frac{\pi}{2} + \frac{39}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(\sin{\left(x - 4 \right)} \right)}^{2} > 0$$
$$\log{\left(\sin{\left(-4 + \left(\frac{\pi}{2} + \frac{39}{10}\right) \right)} \right)}^{2} > 0$$

   2               
log (cos(1/10)) > 0
    

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < \frac{\pi}{2} + 4$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1