x(x+3)/2-x>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- x + \frac{x \left(x + 3\right)}{2} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- x + \frac{x \left(x + 3\right)}{2} = 0$$
Resolvemos:
Abramos la expresión en la ecuación
$$- x + \frac{x \left(x + 3\right)}{2} = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = \frac{1}{2}$$
$$b = \frac{1}{2}$$
$$c = 0$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1/2)^2 - 4 * (1/2) * (0) = 1/4

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 0$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- x + \frac{x \left(x + 3\right)}{2} \geq 0$$
$$\frac{\left(- \frac{11}{10}\right) \left(- \frac{11}{10} + 3\right)}{2} - - \frac{11}{10} \geq 0$$

 11     
--- >= 0
200     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq -1$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq -1$$
$$x \geq 0$$