|2x+3|-x*|x|<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- x \left|{x}\right| + \left|{2 x + 3}\right| \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- x \left|{x}\right| + \left|{2 x + 3}\right| = 0$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x \geq 0$$
$$2 x + 3 \geq 0$$
o
$$0 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$- x x + \left(2 x + 3\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = -1$$
pero x1 no satisface a la desigualdad
$$x_{2} = 3$$

2.
$$x \geq 0$$
$$2 x + 3 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

3.
$$x < 0$$
$$2 x + 3 \geq 0$$
o
$$- \frac{3}{2} \leq x \wedge x < 0$$
obtenemos la ecuación
$$- - x x + \left(2 x + 3\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x^{2} + 2 x + 3 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = -1 - \sqrt{2} i$$
pero x3 no satisface a la desigualdad
$$x_{4} = -1 + \sqrt{2} i$$
pero x4 no satisface a la desigualdad

4.
$$x < 0$$
$$2 x + 3 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < - \frac{3}{2}$$
obtenemos la ecuación
$$- - x x + \left(- 2 x - 3\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x^{2} - 2 x - 3 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{5} = -1$$
pero x5 no satisface a la desigualdad
$$x_{6} = 3$$
pero x6 no satisface a la desigualdad


$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 3$$
=
$$\frac{29}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- x \left|{x}\right| + \left|{2 x + 3}\right| \leq 0$$
$$- \frac{29 \left|{\frac{29}{10}}\right|}{10} + \left|{3 + \frac{2 \cdot 29}{10}}\right| \leq 0$$

 39     
--- <= 0
100     

pero

 39     
--- >= 0
100     

Entonces
$$x \leq 3$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq 3$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1