(x^2+4)(x+4)(x-8)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x + 4\right) \left(x^{2} + 4\right) \left(x - 8\right) \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x + 4\right) \left(x^{2} + 4\right) \left(x - 8\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x + 4\right) \left(x^{2} + 4\right) \left(x - 8\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 8 = 0$$
$$x + 4 = 0$$
$$x^{2} + 4 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 8 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 8$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 8
2.
$$x + 4 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -4$$
Obtenemos la respuesta: x2 = -4
3.
$$x^{2} + 4 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 4$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (4) = -16

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{3} = 2 i$$
$$x_{4} = - 2 i$$
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{3} = 2 i$$
$$x_{4} = - 2 i$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = -4$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = 8$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-4 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x + 4\right) \left(x^{2} + 4\right) \left(x - 8\right) \leq 0$$
$$\left(- \frac{41}{10} + 4\right) \left(4 + \left(- \frac{41}{10}\right)^{2}\right) \left(-8 - \frac{41}{10}\right) \leq 0$$

251801     
------ <= 0
10000      

pero

251801     
------ >= 0
10000      

Entonces
$$x \leq -4$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -4 \wedge x \leq 8$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1